2025-02-28至2025-06-27

第13次开课

授课教师：

课程概述：

课时：数学规划II

知识点一：整数规划问题

  整数规划是数学建模中的优化方法，要求变量取整数值。其核心是将实际问题抽象为数学模型：

1. 定义决策变量（如生产数量）；

2. 建立整数约束（如x∈ℤ⁺）；

3. 构建目标函数（如成本最小）。与线性规划不同，整数解空间离散，常需分支定界法求解。适用于排班调度、物流选址等离散决策的场景。特点：精确但计算复杂度高，大规模问题常采用启发式算法简化。

（数学建模应用，图源中国慕课网MOOC）

知识点二：指派问题

指派问题是整数规划的特例，用于最优任务分配。核心建模步骤： 

1. 决策变量：0-1变量（如\(x_{ij}=1\)表示任务\(i\)分配给人\(j\)）； 

2. 约束：每人仅分配一个任务，每任务仅一人承担（\(\sum x_{ij}=1\)）； 

3. 目标：最小化总成本或时间（如\(\min \sum c_{ij}x_{ij}\)）。 

特点：系数矩阵特殊（行列约束严格），常用匈牙利算法高效求解，复杂度低。适用于匹配类问题（如工作调度、设备分配）。

（交流问题的学生，图源中国慕课网MOOC）

知识点三：非线性规划

非线性规划（NLP）是数学建模中处理目标或约束含非线性关系的优化问题。核心分析： 

1. 变量与目标：定义决策变量\(x\)，构建非线性目标函数（如\( \min f(x)=x^2 + \sin(x) \)）； 

2. 约束：可能含非线性不等式或等式（如\( g(x) \leq 0 \)）； 

3. 求解：常用梯度下降、牛顿法或智能算法（如遗传算法）逼近最优解。 

特点：解空间复杂（可能存在多个局部最优），需数值迭代求解。适用于工程优化、投资组合等连续非线性场景。

（数学建模解决问题的方法，图源中国慕课网MOOC）